Transformasi Helmert (Model Bursa-Wolf)

Salah satu yang paling umum digunakan metode transformasi dalam aplikasi geodetik adalah transformasi 3D conformal yang juga dikenal sebagai kesamaan 3D transformasi atau Transformasi Helmert dengan 7 – parameter transformasi, yang mempertahankan bentuk, sehingga sudut yang tidak berubah, tetapi panjang dari garis dan posisi dapat berubah.

Ketika transformasi ini diterapkan pada sebuah kerangka acuan bumi, ia memiliki efek berputar dan menerjemahkan jaringan titik terhadap sumbu Cartesian. Akhirnya, dengan menerapkan secara keseluruhan faktor skala, jaringan yang ditransformasi diperoleh, sementara bentuk gambar tetap tidak berubah. Dengan kata lain, sumbu Cartesian dapat mengalami rotasi, translasi dan perubahan skala.

Dua set data tiga dimensi koordinat persegi panjang yang didefinisikan dalam dua sistem koordinat yang berbeda, masing-masing Χ₁ dan Χ₂ (Gambar 2.1), dapat berhubungan satu sama lain dengan menggunakan rumus Bursa-Wolf untuk tiga-dimensi transformasi Helmert:

α₁, α₂, α₃ menunjukkan tiga sudut rotasi di sekitar x-, y-dan z-axis,

masing-masing;

μ menunjukkan faktor skala;

R menunjukkan total rotasi matriks yang merupakan hasil dari tiga matriks rotasi individu:

di mana semua elemen r_ij (i, j = 1,2,3) adalah fungsi dari rotasi sudut α₁, α₂, α₃.

Model Matematis yang biasa bentuk transformasi adalah rumus linear yang mengasumsikan bahwa parameter rotasi kecil. Rotasi parameter antara sistem Cartesian geodetik biasanya sekitar 5-10 detik busur, karena sumbu secara konvensional disesuaikan dengan Greenwich Meridian dan Kutub. Dari alasan ini Persamaan. (1.1) dapat diperkirakan dengan persamaan matriks berikut:

di mana Terjemahan sepanjang x-, y-dan z-sumbu, masing-masing adalah dalam meter; di rotasi tentang x-, y-dan z-sumbu, masing-masing adalah dalam radian dan faktor skala perubahan (unitless) seringkali dinyatakan dalam bagian per juta (ppm). Rotasi sering diberikan dalam detik busur, yang harus dikonversi ke radian.

Umumnya Transformasi Helmert  digunakan, karena :

1. Parameter yang digunakan jumlahnya kecil
2. Kesederhanaan model, yang lebih mudah diimplementasikan ke dalam perangkat lunak,
3. Fakta bahwa hal itu memadai untuk menghubungkan dua sistem koordinat dalam kasus ketika mereka homogen (tidak ada distorsi dalam skala lokal atau orientasi).

Dalam prakteknya, ketujuh parameter transformasi Helmert tidak selalu diketahui. Paling sering, mereka perlu diperkirakan dari beberapa titik kontrol di mana koordinat di dua sistem koordinat yang diberikan. Secara teori, koordinat umum di 3 titik yang cukup untuk solusi dari 7-parameter transformasi. Jika lebih dari 3 titik diketahui, sebuah penyesuaian kuadrat dapat dilakukan untuk mengurangi efek kesalahan dalam koordinat yang diberikan [Mikhail 1976, Fan 1997].

sumber :

Andrei, Constantin-Octavian. 2006. 3D affine coordinate transformations. Master’s of Science Thesis in Geodesy No. 3091, School of Architecture and the Built Environment Royal Institute of Technology (KTH). Stockholm, Sweden